Плавник Г.И. (ЗСФ ИНГГ им. А.А. Трофимука СО РАН)

Метод обобщенной сплайн-аппроксимации [2,4 и др.] предоставляет широкие возможности для реализации и верификации различных моделей (от простых до описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных) при решении многих геологических задач, связанных с картопостроением. Использование В-сплайнов в качестве базисных функций (имеющих ограниченный носитель) обеспечивает ленточный вид матрицы с относительно небольшим количеством ненулевых элементов, что позволяет применять точные методы для решения задач с большим количеством неизвестных. Например, при оперативной памяти компьютера в 1 Гб для расчета доступна система с более 120000 неизвестными (что приблизительно соответствует задаче построения грида с размерами 350 на 350 узлов). Вместе с тем, нелинейность зависимости объема требуемой оперативной памяти компьютера от размеров грида является существенным сдерживающим фактором в применении метода обобщенной сплайн-аппроксимации при крупномасштабных построениях.

Одним из эффективных и активно используемых подходов к разрешению данной проблемы является последовательное построение карт по относительно небольшим участкам и последующая их «склейка» между собой [4]. Однако при этом не в полной мере могут реализовываться возможности метода, например, такие как автоматизированное определение показателей взаимосвязи картируемых параметров и априорных данных.

В этих условиях альтернативным вариантом поиска приближенного решения является использование итерационных методов решения результирующей системы алгебраических уравнений (СЛАУ). Объективной предпосылкой этому является то, что число ненулевых элементов исходной матрицы системы значительно меньше, чем у обращенной матрицы, и практически пропорционально количеству узлов грида. И, соответственно, такие методы приближенного решения СЛАУ, как, например, метод сопряженных градиентов или скорейшего спуска [1], не требующие обращения матрицы, позволяют повысить размерность решаемых задач. В частности, память в 1Гб позволяет решать задачи картирования для грида с более 2200 узлов по каждой оси.

Теоретически отмеченные выше приближенные методы с увеличением числа итераций обеспечивают сходимость к точному решению. Но для практического их использования весьма важным является вопрос возможности получения приемлемого результата при допустимых (как правило, не очень длительных) затратах на время вычислений, особенно при количестве неизвестных, исчисляемых миллионами.

Для анализа этих вопросов в рамках программного комплекса GST добавлена функциональная часть решения задачи картопостроения на основе приближенного расчета СЛАУ методами сопряженных градиентов и скорейшего спуска и выполнен ряд вычислительных экспериментов применительно к нескольким наиболее типичным задачам геологического картирования. В первую очередь это просто построение карты по набору значений в заданных точках. Более сложные варианты заключаются в использовании априорной информации (с поиском одного или нескольких коэффициентов взаимосвязи с картируемым параметром).

В качестве параметров для картирования нами использованы оценки современных температур на глубинах 1000 и 1500 м осадочного чехла западной части ХМАО, а также плотности теплового потока, полученные по материалам исследования более 1000 геологоразведочных скважин [3]. Значения определений температур по скважинам колеблются от 25С до 53С на глубине 1000 м и от 38С до 77С на глубине 1500 м. Величины теплового потока варьируют в пределах 42.7 — 91.5 мВт/м². Размеры рассматриваемой области составляют около 400 км на 300 км. В расположении скважин по территории имеется существенная неоднородность, с наличием обширных зон как с относительно высокой плотностью разбуренности, так и практическим с отсутствием данных.

Расчеты осуществлялись для грида с шагом сетки 2 км, что приводит к СЛАУ с около 30000 неизвестных. Выбор шага обусловлен, с одной стороны, стремлением к увеличению размерности сетки (и, соответственно, приближению условий расчета к реальным задачам, в которых может оказаться необходимым использование приближенных методов решения СЛАУ), а с другой – обеспечением возможности оперативного получения точного решения. Для каждого из вариантов расчетов выполнялось по 10000 итераций с фиксацией на каждом шаге итерации основных параметров процесса приближенного решения.

Показатели сходимости приближенных методов к точному решению определяются свойствами матрицы СЛАУ. Вместе с тем, при практическом использовании большое значение имеет выбор исходного приближения. Поиск такого приближения является отдельной задачей (решаемой, например, с использованием точного подхода для разукрупненных сеток).

В рамках задачи поставленной в этой работе в качестве начального использовалось заведомо «плохое» нулевое приближение (с нулевыми значениями всех неизвестных). При этом, с одной стороны, обеспечиваются достаточно «жесткие» условия для работы приближенных методов, что позволяет «рельефно» проследить динамику сходимости к точному решению. С другой стороны, интерпретация результатов при этом легко распространяется на все случаи, поскольку получаемые при этом параметры сходимости итерационных методов аналогичны показателям для задачи поиска отклонения произвольного (ненулевого) приближения от точного решения (вследствие идентичности матрицы).

В качестве одного из количественных показателей сходимости итерационного процесса в данной работе используется широко применяемая на практике характеристика изменения приближенного решения от одного шага итерации к другому – среднеквадратическая величина приращений. Для оценки динамики сходимости представляется показательным соотношение числа итераций, достаточных для получения приемлемого приближенного решения к общему числу неизвестных.

В дополнение к этому при вычислительных экспериментах выполнялся расчет величины среднеквадратического отклонения приближенных и точного решений на каждом шаге итераций. Для нулевого приближения среднее отклонение составляет около 35С. Это значение может использоваться в качестве максимальной оценки для определения относительной погрешности, достигаемой в ходе выполнения итерационных приближений.

Специфическим показателем для задачи картопостроения (в рамках аппроксимационного подхода) является отклонение результирующего грида от величин, задаваемых в точках наблюдения. И, наконец, важным элементом для анализа является вид результирующих карт, построенных с помощью приближенных методов (их сходство и отличие от карт, полученных точными методами).

На рис. 1 приведены результаты расчетов основных показателей итерационных процессов с использованием методов сопряженных градиентов и скорейшего спуска для задачи построения карты температур на глубине 1000 м только по данным скважинной термометрии (без использования косвенной информации, в качестве стабилизатора использовано условие минимума кривизны). Данные представлены в полулогарифмическом масштабе вследствие резких (на порядки) изменений отображаемых параметров.

 

Рис. 1. Динамика основных показателей сходимости методов сопряженных градиентов (А) и скорейшего спуска (Б). Среднеквадратические: а — приращения за один шаг итерации, б — отклонения от точного решения, в — отклонения от значений в точках наблюдения

Рис. 2. Сопоставление результатов точного (а) и приближенных решений (б — метод сопряженных градиентов, в — метод скорейшего спуска) задачи картирования

На фоне общей тенденции к уменьшению приращений с ростом количества итераций (при сходимости к точному результату) отчетливо видны присущие методу сопряженных градиентов периодические и весьма существенные корректировки, которые сопровождаются резкими увеличениями средних приращений. При использовании метода скорейшего спуска результаты по динамике этого параметра более закономерны – наблюдается монотонное снижение приращений с увеличением итераций.

При этом, что вполне ожидаемо, скорость изменения приращений ниже и, соответственно, полученное приближение в результате выполнения 10000 итераций этим методом значительно хуже соответствует точному решению, чем при использовании того же числа итераций методом сопряженных градиентов. При использовании метода сопряженных градиентов среднеквадратическое отклонение приближенного решения от точного составляет около 0.6С, то есть относительная ошибка не превышает 2% (при использовании метода скорейшего спуска – более 23С, с относительной ошибкой почти в 70%).

Оценка динамики погрешности аппроксимации исходных данных (точечных замеров) на начальном этапе итераций показывает, что в методе сопряженных градиентов по этому показателю наблюдается очень быстрое приближение к показателям, соответствующим точному решению. Фактически погрешность аппроксимации в точках стабилизируется и становится практически такой же, как и при точном решении, уже к 200-й итерации, то есть при выполнении менее 0.7% от общего числа итераций, теоретически обеспечивающих приближение к точному результату. При использовании метода скорейшего спуска скорость заметно (на порядок) ниже – приемлемая точность достигается почти за 2000 итераций.

На рис. 2 приведены карты, соответствующие точному и приближенным решениям, полученным за 10000 итераций. Эти карты иллюстрируют отмеченные выше особенности сходимости итерационных методов. Карта, построенная при реализации метода сопряженных градиентов, имеет весьма схожий вид с точным решением. Однако в зонах с редким расположением скважин наблюдаются пониженные значения, что является проявлением незавершенности сходимости к точному решению от начального нулевого приближения. В еще более явном виде эта тенденция иллюстрируется на карте, построенной с использованием метода скорейшего спуска. В областях высокой плотности расположения данных точность карты весьма высока, но на относительно небольшом удалении от скважин грид сохраняется практически неизменным по отношению к нулевому приближению.

Для анализа показателей сходимости итерационных методов в задачах картопостроения с привлечением априорной информации (с одним неизвестным коэффициентом связи) в качестве косвенных данных использованы результаты определения температур на отметке 1500 метров. При этом реализованы два варианта учета косвенной информации – в виде глобального уравнения пропорциональности первых производных гридов по координатам, с предварительным построением карты температур на глубине 1500 м и в виде локальных уравнений взаимосвязи температур на разных глубинах в точках расположения скважин.

Новое в полученных результатах состоит в том, что в решении методом скорейшего спуска возникают явные колебательные изменения в величинах среднеквадратических приращений по неизвестным от одной итерации к другой.

В целом, при решении этой задачи сохраняется свойство более высокой скорости сходимости метода сопряженных градиентов и опережающее приближение к точным значениям в области расположения точек наблюдений. Однако для обоих методов динамика приближения к точному решению существенно уменьшается (по отношению к задаче картопостроения без использования априорной информации).

Погрешность аппроксимации в точках стабилизируется и становится практически такой же, как и при точном решении, только к 750-й итерации в методе сопряженных градиентов, а в методе скорейшего спуска продолжает заметно изменяться вплоть до 10000 итераций. Отклонение от точного решения по окончании цикла из 10000 итераций для метода сопряженных градиентов превышает 5С, то есть увеличивается на порядок по сравнению с решением задачи без привлечения априорных данных с неизвестным коэффициентом связи. При использовании метода скорейшего спуска погрешность изменяется в абсолютном выражении аналогично – среднеквадратическое отклонение от точного решения достигает почти 29С.

Приближение к неизвестным величинам коэффициентов связи с априорной информацией также имеет достаточно медленный характер. В методе скорейшего спуска погрешность остается неприемлемо высокой до конца цикла итераций, а в методе сопряженных градиентов лишь при выполнении 7000 итераций точность может быть признана удовлетворительной.

При втором варианте постановки задачи (в виде локальных уравнений взаимосвязи с априорной информацией) расчеты велись по двум подвариантам – с общим и непересекающимся множеством точек наблюдений по разным горизонтам. В качестве неизвестного параметра связи определялась средняя величина изменения температуры между глубинами 1000 и 1500 м. Результаты использования обоих приближенных методов далеки от точного решения почти во всей области картирования, за исключением относительно узких зон около точек наблюдений для обоих подвариантов. Соответственно этому средняя относительная погрешность составляет практически 60-80%. Вместе с тем, в определении показателя взаимосвязи с косвенными данными достигается весьма высокая точность при использовании обоих методов приближенных решений (с более высокой скоростью сходимости у метода сопряженных градиентов) по завершении цикла из 10000 итераций.

При увеличении до двух числа неизвестных коэффициентов связи с априорной информацией (определяемых глобальными уравнениями пропорциональности по первым производным с картой температур на глубине 1500 м и по вторым производным с картой теплового потока) отмеченные тенденции к уменьшению точности результатов использования приближенных методов и их скорости сходимости сохраняются. Например, при использовании косвенной информации на основе представления связей в виде глобального уравнения погрешность по окончании цикла итераций в методе сопряженных градиентов составляет около 10С, а в методе скорейшего спуска – около 32С. Приближение к приемлемой точности по неизвестным коэффициентам связи в методе сопряженных градиентов достигается при выполнении около 7000 итераций.

Обобщающие данные по точности использования приближенных методов скорейшего спуска (СС) и сопряженных градиентов (СГ) для рассмотренных в данной работе задач (после 10000 итераций) приведены в таблице 1.

 

Таблица 1. Относительные погрешности приближенных решений (%)

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

1. Для метода сопряженных градиентов характерно немонотонное скачкообразное изменение осредненных показателей приближения к точному решению. Поэтому при расчетах этим методом для решения таких вопросов, как, например, условий выхода из итерационного процесса, необходимо анализировать не локальные изменения приращений от итерации к итерации, а выявлять усредненную динамику.
2. Метод сопряженных градиентов вполне ожидаемо обеспечивает более быструю сходимость по всем показателям по сравнению с методом скорейшего спуска.
3. Метод скорейшего спуска обеспечивает более закономерное приближение к точному решению и, соответственно, его использование может оказаться полезным для оценочных прогнозов направленности изменения неизвестных величин, то есть направления к точному решению относительно данного приближения.
4. Приближенные методы дают относительно быструю сходимость к значениям в точках наблюдения, но значительно хуже приближаются к точному решению в зонах, удаленных от них. Поэтому приближенные методы могут рассматриваться как один из способов для локального приближения на густой сетке, в то время как общие закономерности целесообразно определять на основе точного решения задачи на разукрупненной сетке.
5. В решении задач с априорной информацией и неизвестными коэффициентами связи эффективность использования приближенных методов существенно снижается.
6. Необходимо искать более специализированные приближенные методы, учитывающие особенности постановки задачи и специфики структуры матрицы СЛАУ, обеспечивающие более быструю сходимость к точному решению как в отношении поведения грида в зонах, удаленных от точек замера, так и в отношении неизвестных коэффициентов связи с априорной информацией.
7. Данные выводы основаны на решении конкретных примеров и поэтому не могут претендовать на обобщающий характер. Однако при необходимости использования приближенных методов в других задачах целесообразно учитывать полученные в данной работе результаты и проводить соответствующее численное тестирование для оценки достоверности их использования.

Литература

1. Березин И.С., Жидков Н.П.Методы вычислений.Т. II. –М.: Физматгиз.–.–640 с.
2. Волков А.М.Решение практических задач геологии на ЭВМ.–М.: Недра.–1980.–224 с.
3. Курчиков А.Р.Гидрогеотермические критерии нефтегазоносности.–М.:Недра.–1992.–231 с.
4. Плавник А.Г. Алгоритмизация геоинформационных технологий в задачах, связанных с картопостроением // Автореферат дисс. к.г.–м.н..–Тюмень.–2004.–23 с.