Изучение временных рядов, анализ изображений, распознавание образов, обработка данных дистанционного зондирования, моделирование неоднородности коллекторов с целью изучения особенностей динамики движения флюидов – вот далеко не полный перечень дисциплин, где применяется вейвлет-анализ. Как следует из исторического экскурса, приведенного в статье [1], первые вейвлеты были построены Хааром в 1909 г. Математическая система аксиом, скрытая за этой конструкцией, называется в настоящее время кратно–разрешающим (или кратно-масштабным) анализом. В явном виде она была сформулирована в 1986 г. С.Малла и И.Мейером. С ее помощью в 1987 г. И.Добеши построила бесконечную серию вейвлетов, обладающих свойствами системы Хаара — компактным носителем и вдобавок определяющихся более гладкими функциями. Аналогичные функции появились и в схеме фрактальной интерполяции дискретно заданных сигналов, предложенной С.Дюбуком в 1986 г. и подробно изучавшейся им позднее вместе с Ж.Деслорье.

Точное восстановление функций, чей Фурье-образ имеет компактный носитель, по значениям функции при целочисленных значениях аргумента дает теорема Котельникова-Шеннона. В 1946 г. Габор предложил обобщить метод Фурье, промежуточный между стандартным Фурье и вейвлет-анализами. В нем используются тригонометрические функции, локализованные с помощью некоторой подвижной функции «окна», равной нулю вне определенного интервала. Однако наибольший резонанс получили публикации геофизика Ж.Морле и присоединившегося позднее А.Гроссмана по приложению непрерывного вейвлет-анализа к проблемам сейсморазведки. В 1985 г. И.Мейер обнаружил бесконечно дифференцируемую систему вейвлетов, дающую ортонормированные базисы многих функциональных пространств. Благодаря этим работам вейвлет-анализ нашел самое широкое применение в различных областях науки и техники.

Как уже отмечалось, вейвлеты разработаны как инструмент многомасштабного анализа. Идея многомасштабного анализа достаточно проста — рассмотреть какое-либо событие под разными временными или пространственными масштабами (как образно сказано в статье [2] “… взглянуть на сигнал сначала под микроскопом, потом — через лупу, потом отойти на пару шагов, потом посмотреть совсем издалека”). При таком рассмотрении, кроме сглаженной картины, можно увидеть детали, которыми отличаются масштабные различные версии сигнала и которые хорошо прослеживаются от версии к версии. В 1983 г. П.Бэрт и Е.Адельсон написали статью о сжатии изображений при помощи пирамидального представления. В ней содержались основные идеи того, что позднее, после работ И.Мейера и С.Малла, получило название многомасштабный анализ. В статье [2] приводится следующее описание алгоритма Бэрта-Адельсона: “Сигналу, заданному в дискретные моменты времени, ставятся в соответствие две пирамиды — пирамида гауссианов и пирамида лапласианов. Нулевой этаж пирамиды гауссианов — сам сигнал. Первый этаж — результат фильтрации нулевого этажа, прореженный путем выбрасывания каждого второго числа. Второй этаж строится таким же образом из первого и т.д. Заметим, что на каждом шаге применяется один и тот же фильтр, но масштаб каждый раз удваивается”. Суть задачи заключается в сжатии изображения, чтобы при реконструкции потери информации были не существенными. Идея, позволяющая реализовать эту задачу, заключается в том, чтобы для каждого уровня пирамиды запоминать детали, которыми различаются сглаженные сигналы, и самую грубую версию сигнала. Оказывается, что, выбрав такую стратегию, удается достичь объявленной цели, при этом функции, описывающие детали, есть вейвлет-преобразование.

Что собой представляют вейвлеты? Какими свойствами обладают эти функции? Функция ψ(t) может называться вейвлетом, если она удовлетворяет следующим свойствам.

1. Область определения функции — вся числовая ось.
2. Интеграл от функции ψ(t) по области определения равен нулю.
3. Функция ψ(t) быстро убывает при t→±∞.

Рассмотрим свертку произвольного сигнала f(t) с функцией ψ.

 

(1)

 

Результатом свертки является функция, определенная в частотно — временной области в отличие, скажем, от преобразования Фурье, которая определена только в частотной области. К тому же частотная характеристика сигнала, подвергшегося вейвлет — преобразованию (в нашем случае это параметр 1/a), “привязана” к “временной точке” — τ. Это означает, что с помощью вейвлет-анализа мы можем изучать сигналы, частотные характеристики которых зависят от времени, то есть локально. Фурье — анализ такой возможности не дает. Как и Фурье, вейвлет — преобразование имеет обратное [3], которое записывается формулой

 

(2)

 

где g — некоторая константа.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Вейвлет Хаара. Эта функция имеет вид ступеньки ψ(x)=1, 0≤x≤1/2, ψ(x)=-1, 1/2≤x≤1, ψ(x)= 0 во всех остальных случаях.
2. ”Сомбреро” –
   
3. Вейвлет Морле –
   

Очень часто в приложениях вместо непрерывного используют дискретное вейвлет — преобразование, которое по некоторым оценкам более эффективно, чем быстрое преобразование Фурье.

Основная идея дискретного вейвлет — преобразования состоит в следующем. Для некоторого базового пространства V₀ ищем функцию φ(x)∈V₀ , все целочисленные сдвиги ее аргумента порождают базис в исходном пространстве φ(x-k), k= 0,±1,±2,…

Кроме этого потребуем, чтобы функции φ(2x-k) являлись базисом для пространства . Из этого следует, что функция φ(x) может быть выражена через базис φ(2x-k) в соответствии с формулой

 

(3)

 

Оказывается, если функция φ имеет компактный носитель, то число ненулевых коэффициентов в формуле (3) конечно.

Функциональное уравнение (3) называется скейлинговым уравнением, а функция φ — скейлинговой функцией.

В качестве примера рассмотрим уравнение φ(x)=φ(2x)+φ(2x-1).

Это уравнение имеет решение в виде функции Хаара, φ(x)=1, 0≤x≤1 и φ(x) = 0 во всех остальных случаях.

Рассмотрим дополнительное пространство W₀:V₁=V₀⊕W₀ и построим в нем базис, который выразим через φ(2x-k). Оказывается, это разложение может быть представлено в виде

 

(4)

 

В случае функций Хаара коэффициенты для ψ в (4) имеют значения 1,-1.

Одно из замечательных свойств функций φ и ψ — их ортогональность относительно сдвигов. Более того, функция ψ обладает дополнительным условием ортогональности [4] ∫ψ(x)ψ(2x-k)dx=0. Функции ψ называют вейвлетом.

Аналогично алгоритму Бэрта-Адельсона, описанному выше, Мейер и Малла предложили свою концепцию многомасштабного анализа, основанную на аппроксимации сигнала функциями φ и ψ.

Более подробно. Пусть задан сигнал φ(x). Рассмотрим его дискретное представление ƒ_i на самом детальном масштабе (индекс i=1,2,…,2^N). Это нулевой уровень пирамиды. Первый уровень определяется с помощью преобразования, выполняющего роль “низкочастотного” фильтра [4]

 

(5)

 

Параллельно этому вычисляется “высокочастотная” составляющая сигнала для этого уровня

 

(6)

 

Восстановление исходного сигнала по известным значениям u и v производится с помощью обратного преобразования [4] низкочастотного и высокочастотного фильтров

 

(7)

 

(8)

 

Исходный сигнал записывается в виде суммы

 

(9)

 

Можно заметить, что при переходе на первый уровень происходит сглаживание сигнала с последующим разряжением в два раза. Итерации можно продолжить, если в качестве ƒ выбрать его сглаженную версию первого уровня - u. Продолжая этот процесс, мы приходим к самому “грубому” масштабу. Сохранив последнюю версию сглаженного сигнала и запомнив результаты “высокочастотной” фильтрации для всех уровней, мы можем восстановить как исходный сигнал, так и все его масштабные версии.

Формулы (5), (6) можно переписать в матричном виде [5]

 

(10)

 

(11)

 

В этой записи m - определяет число итераций D⁰ , — совпадает с исходным сигналом. Реконструкцию m-1 версии сигнала можно получить из представления сглаженного сигнала и его деталей на более грубом m-м уровне.

 

(12)

 

Приведенная здесь процедура справедлива для одномерного случая, но она может быть расширена и на двумерный. Для этого векторное пространство двумерных скейлинг – функций ищется как тензорное произведение одномерных базисных функций. В двумерном варианте формула (10) имеет вид

 

(13)

 

а формула (11), описывающая детали преобразованного сигнала, будет зависеть от направлений. Поэтому вместо одной формулы, имеем три:

 

(14)

 

(15)

 

(16)

 

Аналогично одномерному случаю (формула (12)) реконструкция сигнала вычисляется по алгоритму [5]

 

(17)

 

Построение двумерных низко — и высокочастотных фильтров позволяет раскладывать плоское изображение в зависимости от детальности масштаба. При этом возможно существенно сжать информацию пренебрегая “незначительными” деталями в исходном изображении.

Метод вейвлет — анализа разработан относительно недавно, тем не менее количество публикаций растет. Достаточно обратиться к сайтам в интернете: http://www.mathsoft.com, где можно увидеть огромный список публикаций по теории и приложениям вейвлетов во многих областях науки и техники.

Литература

1. Башилов Г., Левкович-Маслюк Л.И. Мелковолновый анализ.- Компьютерра.-№ 8. — 1998.-С. 28-29.
2. Левкович-Маслюк Л.И. Дайджест вейвлет-анализа. -Компьютерра.- №8. 1998. -С. 31-37.
3. Спиридонов В.П. Самоподобие, всплески и квазикристаллы.- Компьютерра. № 8.- 1998.- С. 38-45.
4. Edwards T. Discrete Wavelet Transforms: Theory and Implementation. Discrete Wavelet Transforms., Draft #2, June 4, 1992, p. 27
5. Lifu Chu, Schatzinger R.A., Tham M.K. Application of Wavelet Analysis to Upscaling of Rock Properties., SPE Reservoir Evaluation & Engieneering, Februry 1998, p. 75-81.